प्रतिशत के पहले भाग में हमने इसके बुनियादी नियमों, फ्रैक्शन टेबल और परीक्षा से जुड़े साधारण प्रश्नों को समझा था। इस दूसरे भाग में हम उन चुनिंदा एडवांस टॉपिक्स को कवर करेंगे जिनसे प्रतियोगी परीक्षाओं में सबसे ज़्यादा कठिन सवाल बनते हैं।
सभी एडवांस प्रश्न प्रकार और शॉर्टकट ट्रिक्स (उदाहरणों के साथ)
प्रकार 1: चुनाव पर आधारित प्रश्न (Election Based Questions)
चुनाव वाले प्रश्नों में मुख्य रूप से दो उम्मीदवारों के बीच मतों (Votes) की तुलना की जाती है। इसमें कुल मत, अवैध मत (Invalid Votes) और वैध मत (Valid Votes) का कांसेप्ट होता है।
उदाहरण 1.1:
सवाल: एक चुनाव में दो उम्मीदवारों ने भाग लिया। विजेता उम्मीदवार को कुल मतों का 60% प्राप्त हुआ और वह 4000 मतों से चुनाव जीत गया। चुनाव में पड़े कुल मतों की संख्या ज्ञात कीजिए।
- (a) 15000
- (b) 20000
- (c) 25000
- (d) 18000
हल (Solution):
- Logically मान लेते हैं कि चुनाव में पड़े कुल मत = 100%
- विजेता (Winner) को मिले मत = 60%
- तो हारने वाले (Loser) को मिले मत = 100% – 60% = 40%
- दोनों के बीच जीत का अंतर प्रतिशत में कितना है?
अंतर= $60\% – 40\% = 20\%$ - यह 20% का अंतर वोटों में 4000 के बराबर दिया गया है:
$\Rightarrow 20\% = 4000$ - कुल मतों की संख्या (100%):
कुल मत=$ \frac{4000}{20} \times 100 = 200 \times 100 = 20000$
उत्तर: (b) 20000
उदाहरण 1.2 (अवैध मतों के साथ):
सवाल: एक चुनाव में दो उम्मीदवारों में से एक को वैध मतों (Valid Votes) का 55% मिला। कुल मतों में से 20% मत अवैध घोषित कर दिए गए। यदि कुल मतों की संख्या 7500 थी, तो दूसरे उम्मीदवार को कितने वैध मत मिले?
हल (Solution):
- कुल मत = 7500
- अवैध मत = 20% $\rightarrow$ तो वैध मत (Valid Votes) = 80% होंगे।
वैध मत = $7500 \times \frac{80}{100} = 6000$ - पहले उम्मीदवार को वैध मतों का 55% मिला, तो दूसरे उम्मीदवार को वैध मतों का कितना मिलेगा?
$100\% – 55\% = 45\%$ - दूसरे उम्मीदवार को मिले वैध मतों की संख्या:
दूसरे उम्मीदवार के मत= $6000 \times \frac{45}{100} = 60 \times 45 = 2700$
उत्तर: 2700
प्रकार 2: जनसंख्या में वृद्धि या कमी (Population Based Questions)
यह चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) के सिद्धांत पर काम करता है। इसमें किसी शहर की जनसंख्या में हर साल एक निश्चित दर से वृद्धि या कमी होती है।
सूत्र (Formulas):
- n वर्ष बाद की जनसंख्या = $P \times \left(1 \pm \frac{r}{100}\right)^n$
- n वर्ष पहले की जनसंख्या = $\frac{P}{\left(1 \pm \frac{r}{100}\right)^n}$
(यहाँ $P$ = वर्तमान जनसंख्या, $r$ = दर, $n$ = समय है। वृद्धि के लिए + और कमी के लिए – का उपयोग करें)।
उदाहरण 2.1:
सवाल: एक शहर की वर्तमान जनसंख्या 50,000 है। यदि इसमें प्रतिवर्ष 10% की वृद्धि होती है, तो 2 वर्ष बाद शहर की जनसंख्या क्या होगी?
हल (Solution):
- तरीका 1 (सूत्र द्वारा):
जनसंख्या = $50000 \times \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 50000 \times \left(\frac{11}{10}\right)^2$
जनसंख्या = $ 50000 \times \frac{121}{100} = 500 \times 121 = 60500$ - तरीका 2 (फ्रैक्शन ट्रिक — Fast Method): $10\% = \frac{1}{10}$। यानी जनसंख्या 10 से बढ़कर 11 हो रही है।
- पहले साल: 10 → 11
- दूसरे साल: 10 → 11
- कुल प्रभाव: $10 \times 10 = 100$ से बढ़कर $11 \times 11 = 121$ हो गई।
- यदि 100 यूनिट = 50,000, तो 1 यूनिट = 500।
- 2 वर्ष बाद की जनसंख्या (121 यूनिट) = $121 \times 500 = 60500$
उत्तर: 60500
प्रकार 3: वेन आरेख पर आधारित प्रश्न (Venn Diagram Based Questions)
इन प्रश्नों में दो विषयों या दो अलग-अलग गतिविधियों में पास/फेल या पसंद/नापसंद करने वाले छात्रों का प्रतिशत दिया होता है।
शॉर्टकट सूत्र: कुल % = A % + B % – $\text{(A} \cap \text{B) %}$
(कुल % = पहले विषय में पास % + दूसरे विषय में पास % – दोनों विषयों में पास %)
उदाहरण 3.1:
सवाल: एक परीक्षा में 70% छात्र अंग्रेजी में और 65% छात्र गणित में पास हुए। यदि 27% छात्र दोनों विषयों में फेल हो गए और 248 छात्र दोनों विषयों में पास हुए, तो कुल छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
- ऐसे प्रश्नों में सभी मानों को एक ही केटेगरी (या तो केवल पास या केवल फेल) में बदलना ज़रूरी होता है। हम यहाँ ‘पास होने वाले’ छात्रों का वेन आरेख बनाएंगे।
- दोनों विषयों में फेल हुए छात्र = 27% $\rightarrow$ तो कम से कम एक विषय में पास हुए कुल छात्र = 100% – 27% = 73%
- अब सूत्र का उपयोग करेंगे:
73% = 70% + 65% – दोनों विषयों में पास %
73% = 135% – दोनों विषयों में पास %
दोनों विषयों में पास = 135% – 73% = 62% - हमें दोनों विषयों में पास होने वाले छात्रों की वास्तविक संख्या 248 दी गई है:
$\Rightarrow 62\% = 248$ - कुल छात्रों की संख्या (100%):
$\text{कुल छात्र} = \frac{248}{62} \times 100 = 4 \times 100 = 400$
उत्तर: 400
प्रकार 4: मिश्रण पर आधारित प्रश्न (Mixture & Percentage Questions)
इस प्रकार के प्रश्नों में किसी मिश्रण (जैसे पानी-दूध, चीनी-पानी या नमक-पानी) में एक तत्व की मात्रा को बदला जाता है और दूसरे को स्थिर रखा जाता है।
गोल्डन ट्रिक: मिश्रण में जो मात्रा स्थिर (Constant) रहती है (यानी जिसे अलग से मिलाया या निकाला नहीं जाता), केवल उसी के प्रतिशत की तुलना शुरुआती मिश्रण और अंतिम मिश्रण से की जाती है।
उदाहरण 4.1:
सवाल: चीनी और पानी के 300 ग्राम मिश्रण में 40% चीनी है। इसमें कितनी चीनी और मिलाई जानी चाहिए ताकि नए मिश्रण में चीनी की मात्रा 50% हो जाए?
हल (Solution):
- ध्यान दें: हम मिश्रण में चीनी मिला रहे हैं, इसका मतलब पानी की मात्रा दोनों स्थितियों में समान (स्थिर) रहेगी।
- स्थिति 1 (शुरुआत में):
- कुल मिश्रण = 300 ग्राम
- चीनी = 40% $\rightarrow$ पानी कितना होगा? 100% – 40% = 60%
- पानी की कुल मात्रा = $300 \times 60\% = 180 \text{ ग्राम}$
- स्थिति 2 (चीनी मिलाने के बाद):
- मान लेते हैं नया कुल मिश्रण = $M$ ग्राम
- नए मिश्रण में चीनी = 50% $\rightarrow$ पानी कितना होगा? 50%
- चूंकि पानी की मात्रा बदली नहीं है, इसलिए नए मिश्रण का 50%, 180 ग्राम के ही बराबर होगा:
$M \times 50\% = 180 \text{ ग्राम} \Rightarrow M = 180 \times 2 = 360 \text{ ग्राम}$
- मिलाई गई चीनी की मात्रा = नया मिश्रण (360) – पुराना मिश्रण (300) = 60 ग्राम
उत्तर: 60 ग्राम