इकाई का अंक ज्ञात करना (Unit Digit Concept)
प्रतियोगी परीक्षाओं में बड़े-बड़े गुणनफलों (Multiplications) या घातों (Powers) वाली संख्याओं का इकाई अंक (Unit Digit) पूछा जाता है। इसे कम से कम समय में हल करने के लिए चक्रियता (Cyclicity) के नियम को समझना बेहद ज़रूरी है।
इकाई अंक की चक्रियता का नियम (Concept of Cyclicity)
गणित में 0 से 9 तक कुल 10 अंक होते हैं। इकाई अंक के मामले में इन सभी अंकों को 3 अलग-अलग ग्रुप्स में बांटा गया है:
ग्रुप 1: (0, 1, 5, 6) — नो चेंज (No Change)
इन अंकों की पावर (घात) चाहे कुछ भी हो, इनका इकाई अंक हमेशा वही संख्या खुद रहती है।
- $0^{\text{any power}} = 0$
- $1^{\text{any power}} = 1$
- $5^{\text{any power}} = 5$
- $6^{\text{any power}} = 6$
ग्रुप 2: (4 और 9) — सम/विषम का नियम (Odd/Even Rule)
इन दोनों अंकों का इकाई मान इनकी पावर के सम (Even) या विषम (Odd) होने पर निर्भर करता है:
- 4 के लिए:
- $4^{\text{विषम (Odd)}} \rightarrow 4$ (जैसे: $4^1 = 4$)
- $4^{\text{सम (Even)}} \rightarrow 6$ (जैसे: $4^2 = 16$)
- 9 के लिए:
- $9^{\text{विषम (Odd)}} \rightarrow 9$ (जैसे: $9^1 = 9$)
- $9^{\text{सम (Even)}} \rightarrow 1$ (जैसे: $9^2 = 81$)
ग्रुप 3: (2, 3, 7, 8) — चक्रियता 4 का नियम (Cyclicity = 4)
ये अंक हर 4 पावर के बाद अपना इकाई अंक दोहराते हैं। इसलिए, इनकी पावर को 4 से भाग (Divide) किया जाता है और जो शेषफल (Remainder) बचता है, उसे ही नई पावर मानकर हल करते हैं।
नियम: यदि पावर को 4 से भाग देने पर शेषफल 0 आए, तो पावर की जगह 4 रखना है।
सभी प्रश्न प्रकार और मुख्य अवधारणाएं (उदाहरणों के साथ)
प्रकार 1: गुणनफल (Multiplication) पर आधारित प्रश्न
इस प्रकार के प्रश्नों में बड़ी संख्याओं का गुणा दिया जाता है। हमें पूरी संख्या से कोई मतलब नहीं होता, केवल उनके इकाई अंकों का आपस में गुणा करना होता है।
उदाहरण 1.1:
सवाल: $756 \times 938 \times 872 \times 433$ का इकाई अंक क्या होगा?
हल (Solution):
- सभी संख्याओं के केवल इकाई अंक बाहर निकालें: $6 \times 8 \times 2 \times 3$
- अब स्टेप-बाय-स्टेप गुणा करें:
- $6 \times 8 = 48$ (इकाई अंक = 8)
- अब इस 8 का गुणा अगले अंक 2 से करें: $8 \times 2 = 16$ (इकाई अंक = 6)
- अब इस 6 का गुणा आखिरी अंक 3 से करें: $6 \times 3 = 18$ (इकाई अंक = 8)
- अन्तिम इकाई अंक 8 है।
उत्तर: 8
उदाहरण 1.2 (विशेष ट्रिक):
सवाल: $83 \times 87 \times 95 \times 99 \times 42$ का इकाई अंक क्या होगा?
हल (Solution):
- शॉर्टकट ट्रिक: यदि गुणनफल की श्रृंखला में कहीं भी इकाई स्थान पर 5 आ जाए और उसके साथ कोई भी एक सम संख्या (Even Number) आ जाए (जैसे यहाँ 42 का ‘2’ है), तो उनका गुणा करने पर अंत में 0 बनेगा ($5 \times 2 = 10$)।
- एक बार गुणा में 0 आ गया, तो पूरी श्रृंखला का इकाई अंक हमेशा 0 ही रहेगा।
उत्तर: 0
प्रकार 2: घात (Powers) पर आधारित प्रश्न
इसमें संख्याओं के ऊपर बड़ी-बड़ी घाते लगी होती हैं। यहाँ हमें चक्रियता के नियमों का प्रयोग करना होता है।
उदाहरण 2.1:
सवाल: $(213)^{127}$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए.
हल (Solution):
- स्टेप 1: आधार (Base) का केवल इकाई अंक लें, जो कि 3 है। (यह ग्रुप 3 का सदस्य है)।
- स्टेप 2: पावर की आखरी दो डिजिट को 4 से भाग दें (पूरी पावर को भाग देने की ज़रूरत नहीं है): $27 \div 4$
- $4 \times 6 = 24$, शेषफल (Remainder) = 3
- स्टेप 3: इस शेषफल को 3 की पावर बना दें: $3^3 = 27$
- 27 में इकाई का अंक 7 है।
उत्तर: 7
उदाहरण 2.2 (शेषफल 0 आने पर):
सवाल: $(548)^{64}$ का इकाई अंक क्या होगा?
हल (Solution):
- यहाँ इकाई अंक 8 है।
- पावर 64 को 4 से भाग देने पर यह पूरा कट जाता है, यानी शेषफल = 0 आता है।
- नियम के अनुसार, जब शेषफल 0 आए तो पावर 4 मानेंगे: $8^4$
- $8 \times 8 = 64$ (इकाई अंक 4)
- $4 \times 8 = 32$ (इकाई अंक 2)
- $2 \times 8 = 16$ (इकाई अंक 6)
उत्तर: 6
प्रकार 3: जोड़ और घटाव (Plus/Minus) पर आधारित प्रश्न
इसमें अलग-अलग पावर वाली संख्याओं के बीच प्लस या माइनस का साइन होता है।
उदाहरण 3.1:
सवाल: $(25)^{6251} + (36)^{528} + (73)^{54}$ का इकाई अंक क्या होगा?
हल (Solution):
- $(25)^{6251} \rightarrow$ इकाई अंक 5 है (ग्रुप 1 – नो चेंज) $\rightarrow 5$
- $(36)^{528} \rightarrow$ इकाई अंक 6 है (ग्रुप 1 – नो चेंज) $\rightarrow 6$
- $(73)^{54} \rightarrow$ इकाई अंक 3 है। पावर 54 को 4 से भाग देने पर शेषफल 2 बचता है ($4 \times 13 = 52$). तो $3^2 = 9$
- अब तीनों को जोड़ें: 5 + 6 + 9 = 20
- 20 का इकाई अंक 0 है।
उत्तर: 0
उदाहरण 3.2 (ऋणात्मक/Minus स्थिति में):
सवाल: $(97)^{45} – (82)^{18}$ का इकाई अंक क्या होगा?
हल (Solution):
- पहला भाग: $(97)^{45} \rightarrow$ 7 की पावर ($45 \div 4 \rightarrow$ शेषफल 1) $\rightarrow 7^1 = 7$
- दूसरा भाग: $(82)^{18} \rightarrow$ 2 की पावर ($18 \div 4 \rightarrow$ शेषफल 2) $\rightarrow 2^2 = 4$
- अब: 7 – 4 = 3
उत्तर: 3
महत्वपूर्ण नोट (अगर माइनस करने पर उत्तर नेगेटिव आए):
मान लीजिए किसी सवाल में हल करते समय 3 – 8 आ जाता, तो उत्तर -5 नहीं होगा। चूंकि 3 के आगे और भी अंक रहे होंगे, इसलिए हम आगे वाली संख्या से एक उधार (Carry) लेते हैं, जिससे यह 13 बन जाता है। फिर 13 – 8 = 5 उत्तर होता है।
प्रकार 4: फैक्टोरियल (Factorial) पर आधारित प्रश्न
प्रतियोगी परीक्षाओं में अब फैक्टोरियल वाले कठिन प्रश्न भी पूछे जाने लगे हैं।
- फैक्टोरियल का मतलब: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
- याद रखें: 5! या उससे बड़े किसी भी फैक्टोरियल का इकाई अंक हमेशा 0 होता है, क्योंकि उसमें 2 और 5 का जोड़ा बन जाता है।
उदाहरण 4.1:
सवाल: $1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \dots + 100!$ का इकाई अंक क्या होगा?
हल (Solution):
- हम जानते हैं कि 5! से लेकर आगे 100! तक सभी का इकाई अंक 0 होगा। इसलिए हमें सिर्फ 4! तक ही हल करना है:
- $1! = 1$
- $2! = 2$
- $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
- $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ (इकाई अंक = 4)
- अब इनके इकाई अंकों को जोड़ें: 1 + 2 + 6 + 4 = 13
- 13 का इकाई अंक 3 है।
उत्तर: 3