संख्या पद्धति (Number System) – भाग 4

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)

शेषफल प्रमेय से प्रतियोगी परीक्षाओं में हर साल बेहतरीन सवाल पूछे जाते हैं। इस टॉपिक को समझने के लिए सबसे पहले भाग (Division) के मूल सिद्धांत को जानना ज़रूरी है:

$\text{भाज्य (Dividend)} = (\text{भाजक (Divisor)} \times \text{भागफल (Quotient)}) + \text{शेषफल (Remainder)}$

जहाँ,

भाजक (Divisor): जिससे भाग दिया जाता है।
भाज्य (Dividend): जिसको भाग दिया जाता है।
भागफल (Quotient): जितनी बार भाग जाता है।
शेषफल (Remainder): जो अंत में बच जाता है (यह हमेशा भाजक से छोटा होता है)।

ऋणात्मक शेषफल की अवधारणा (Concept of Negative Remainder)

परीक्षाओं में बड़ी-बड़ी गणनाओं को छोटा करने के लिए हम Negative Remainder का उपयोग करते हैं। वास्तव में शेषफल कभी माइनस में नहीं होता, लेकिन यह हमारी कैलकुलेशन को बहुत आसान बना देता है।

उदाहरण: यदि हम 49 को 9 से भाग दें:
- धनात्मक शेषफल (Positive Remainder): $9 \times 5 = 45$, शेष बचा +4
- ऋणात्मक शेषफल (Negative Remainder): $9 \times 6 = 54$, जो कि 49 से 5 ज़्यादा है, यानी -5
नियम: अंतिम उत्तर को हमेशा धनात्मक (Positive) रखने के लिए, यदि आपका शेषफल माइनस में आता है, तो उसे भाजक (Divisor) में जोड़ देते हैं: 9 + (-5) = 4।

सभी प्रश्न प्रकार और मुख्य अवधारणाएं (उदाहरणों के साथ)

प्रकार 1: गुणनफल (Multiplication Series) पर आधारित प्रश्न

इस प्रकार के प्रश्नों में कई संख्याओं का गुणा दिया जाता है और उसे किसी संख्या से भाग देने पर शेषफल पूछा जाता है। यहाँ हम हर संख्या का अलग-अलग शेषफल निकालकर उनका गुणा करते हैं।

उदाहरण 1.1:

सवाल: $\frac{1753 \times 1749 \times 83 \times 171}{17}$ का शेषफल क्या होगा?

हल (Solution):
हम पूरी संख्याओं को गुणा करने के बजाय हर एक संख्या को अलग-अलग 17 से भाग देकर उनका छोटा शेषफल (धनात्मक या ऋणात्मक) लिखेंगे:

1753 $\rightarrow$ 1700 पूरा कट जाएगा, 53 को भाग देने पर $17 \times 3 = 51$, शेषफल = +2
1749 $\rightarrow$ $17 \times 3 = 51$, यानी 49 से 2 ज़्यादा, शेषफल = -2
83 $\rightarrow$ $17 \times 5 = 85$, यानी 83 से 2 ज़्यादा, शेषफल = -2
171 $\rightarrow$ 170 पूरा कट जाएगा, शेषफल = +1

अब इन सभी शेषफलों का आपस में गुणा करेंगे:
$\Rightarrow (+2) \times (-2) \times (-2) \times (+1) = -8$
अंतिम धनात्मक शेषफल = 17 – 8 = 9

चूंकि 9 भाजक (17) से छोटा और धनात्मक है, इसलिए यही हमारा अंतिम शेषफल होगा।

उत्तर: 9

प्रकार 2: घात (Powers) पर आधारित प्रश्न

इसमें सबसे महत्वपूर्ण नियम यह होता है कि हम आधार (Base) को इस प्रकार तोड़ते हैं कि भाग देने पर शेषफल या तो +1 बचे या -1।

$(+1)^{\text{any power}} = +1$
$(-1)^{\text{सम (Even)}} = +1$
$(-1)^{\text{विषम (Odd)}} = -1$

उदाहरण 2.1:

सवाल: $(67)^{67} + 67$ को यदि 68 से भाग दिया जाए, तो शेषफल क्या होगा?

हल (Solution):

सबसे पहले अलग-अलग भाग के रूप में लिखें: $\frac{(67)^{67}}{68} + \frac{67}{68}$
जब 67 को 68 से भाग देंगे, तो ऋणात्मक शेषफल क्या आएगा? -1
समीकरण में रखने पर: $\Rightarrow (-1)^{67} + (-1)$
चूंकि 67 एक विषम (Odd) संख्या है, इसलिए $(-1)^{67} = -1$ होगा।
$\Rightarrow (-1) + (-1) = -2$
शेषफल कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए इसे भाजक (68) में जोड़ेंगे: 68 – 2 = 66

उत्तर: 66

उदाहरण 2.2 (जब अंतर 1 न हो):

सवाल: $2^{33}$ को 9 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

हल (Solution):
यहाँ 2 और 9 में अंतर ज़्यादा है। हम 2 की ऐसी पावर ढूँढेंगे जो 9 के गुणांक के पास हो (जैसे $2^3 = 8$, जो 9 से 1 कम है)।

$2^{33}$ को हम $(2^3)^{11}$ लिख सकते हैं।
अब प्रश्न बना: $\frac{(8)^{11}}{9}$
8 को 9 से भाग देने पर शेषफल -1 बचता है।
$(-1)^{11} = -1$ (क्योंकि पावर विषम है)
अंतिम धनात्मक शेषफल = 9 – 1 = 8

उत्तर: 8

प्रकार 3: क्रमागत भाग (Successive Division) पर आधारित प्रश्न

इस प्रकार के प्रश्नों में कहा जाता है कि किसी संख्या को लगातार अलग-अलग भाजकों से भाग देने पर अलग-अलग शेषफल प्राप्त होते हैं.

उदाहरण 3.1:

सवाल: किसी संख्या को जब क्रमिक रूप से 4 और 5 से भाग दिया जाता है, तो शेषफल क्रमशः 1 और 4 आते हैं। यदि इसी संख्या को 20 से भाग दिया जाए, तो शेषफल क्या होगा?

हल (Solution):
इसके लिए हम नीचे से ऊपर की ओर एक छोटी सी प्रक्रिया की मदद से संख्या ज्ञात करते हैं:

मान लेते हैं कि अंतिम भागफल 1 है।
अंतिम भाजक 5 था और शेषफल 4 था। तो उससे ठीक पहले की संख्या = $(5 \times 1) + 4 = 9$
अब पहला भाजक 4 था और शेषफल 1 था, और उसके लिए भागफल यह 9 बनेगा।
वास्तविक संख्या = $(4 \times 9) + 1 = 36 + 1 = 37$

अब हमें संख्या मिल गई है: 37
सवाल के अनुसार, 37 को 20 से भाग देने पर शेषफल:
$37 \div 20 \rightarrow$ शेषफल = 17

उत्तर: 17

प्रकार 4: बीजगणितीय शेषफल प्रमेय (Algebraic Remainder Theorem)

जब परीक्षा में $x$ वाले बहुपद (Polynomials) दिए जाते हैं और किसी रैखिक समीकरण से भाग देने को कहा जाता है।

उदाहरण 4.1:

सवाल: यदि बहुपद $x^3 + 5x^2 + 7x + k$, $(x – 2)$ से पूर्णतः विभाजित है, तो $k$ का मान क्या होगा?