ल.स.प. और म.स.प. (LCM & HCF) – भाग 2

LCM & HCF के पहले भाग में हमने इसके बेसिक नियमों और शेषफल पर आधारित साधारण प्रश्नों को समझा था। इस दूसरे भाग में हम इसके थोड़े और एडवांस और ट्रिकी टाइप्स को कवर करेंगे, जो अक्सर परीक्षाओं में छात्रों को भ्रमित करते हैं।

सभी एडवांस प्रश्न प्रकार और शॉर्टकट ट्रिक्स (उदाहरणों के साथ)

प्रकार 1: सह-अभाज्य जोड़ों (Co-Prime Pairs) की संख्या ज्ञात करना

इस प्रकार के प्रश्नों में संख्याओं का योगफल (Sum) या गुणनफल (Product) उनके HCF के साथ दिया जाता है, और पूछा जाता है कि ऐसी संख्याओं के कितने जोड़े (Pairs) संभव हैं।

कोर नियम (Core Rule): यदि दो संख्याओं का HCF $h$ है, तो हम उन संख्याओं को $ha$ और $hb$ मान सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ आपस में सह-अभाज्य (Co-Prime) संख्याएँ होंगी (अर्थात उनका HCF = 1 होगा)।

उदाहरण 1.1 (योगफल पर आधारित):

सवाल: दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) 15 है और उनका योगफल 240 है। ऐसी संख्याओं के कुल कितने संभावित जोड़े (Pairs) बनाए जा सकते हैं?

• (a) 2
• (b) 3
• (c) 4
• (d) 5

हल (Solution):

• मान लेते हैं संख्याएँ $15a$ और $15b$ हैं।
• प्रश्न के अनुसार उनका योगफल:
  $15a + 15b = 240$
  $15(a + b) = 240 \Rightarrow a + b = \frac{240}{15} = 16$
• अब हमें ऐसी दो संख्याओं $a$ और $b$ के जोड़े ढूंढने हैं जिन्हें जोड़ने पर 16 आए, लेकिन वे आपस में Co-Prime (सह-अभाज्य) होनी चाहिए (उनमें 1 के अलावा कुछ भी कॉमन न हो):
  1. (1, 15) $\rightarrow$ सह-अभाज्य है (जोड़ा 1)
  2. (2, 14) $\rightarrow$ सह-अभाज्य नहीं है (दोनों 2 से कटते हैं)
  3. (3, 13) $\rightarrow$ सह-अभाज्य है (जोड़ा 2)
  4. (4, 12) $\rightarrow$ सह-अभाज्य नहीं है
  5. (5, 11) $\rightarrow$ सह-अभाज्य है (जोड़ा 3)
  6. (6, 10) $\rightarrow$ सह-अभाज्य नहीं है
  7. (7, 9) $\rightarrow$ सह-अभाज्य है (जोड़ा 4)
  8. (8, 8) $\rightarrow$ सह-अभाज्य नहीं है
• कुल 4 वैध जोड़े संभव हैं: (1,15), (3,13), (5,11), (7,9)।

उत्तर: (c) 4

प्रकार 2: n-अंकों की बड़ी या छोटी संख्या के पास का LCM निकालना

इस प्रकार के प्रश्नों में आपसे सीधे LCM नहीं पूछा जाता, बल्कि यह कहा जाता है कि “5-अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो…”।

उदाहरण 2.1:

सवाल: 5-अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 12, 15, 18 और 27 में से प्रत्येक से पूर्णतः विभाजित हो जाए।

हल (Solution):

• स्टेप 1: सबसे पहले दी गई संख्याओं (12, 15, 18, 27) का LCM निकालें।
  • 12, 15, 18, 27 का LCM = 540
• स्टेप 2: हम जानते हैं कि 5-अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 होती है। अब इस 99999 को LCM (540) से भाग देंगे।
  • $99999 \div 540 \rightarrow$ भाग देने पर शेषफल (Remainder) = 99 बचेगा।
• स्टेप 3: पूर्णतः विभाजित होने वाली संख्या निकालने के लिए इस शेषफल को 5-अंकों की सबसे बड़ी संख्या में से घटा देंगे।
  $\text{अभीष्ट संख्या} = 99999 – 99 = 99900$

उत्तर: 99900

प्रकार 3: समान शेषफल (Same Remainder — बिना संख्या दिए) वाले HCF के प्रश्न

जब प्रश्न में यह तो कहा जाए कि “प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल बचे”, लेकिन वह शेषफल कितना है यह न बताया गया हो.

शॉर्टकट ट्रिक: यदि संख्याएँ $A$, $B$ और $C$ दी गई हों और समान शेषफल की बात हो, तो हम आपस में उनका अंतर निकालते हैं: $|A-B|$, $|B-C|$, $|C-A|$ और फिर प्राप्त अंतरों का HCF निकालते हैं।

उदाहरण 3.1:

सवाल: वह अधिकतम संख्या (बड़ी से बड़ी संख्या) ज्ञात कीजिए जिससे 62, 132 और 237 को भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल बचे।

हल (Solution):

• दी गई संख्याएँ हैं: $A = 62, B = 132, C = 237$
• इनका आपस में अंतर निकालें:
  • $132 – 62 = 70$
  • $237 – 132 = 105$
  • $237 – 62 = 175$
• अब हमें 70, 105 और 175 का म.स.प. (HCF) निकालना है।
• वह सबसे बड़ी संख्या जो 70, 105 और 175 तीनों को काट सके, वह 35 है ($35 \times 2 = 70$, $35 \times 3 = 105$, $35 \times 5 = 175$)।

उत्तर: 35

प्रकार 4: अलग-अलग शेषफल वाले LCM के प्रश्न (समान अंतर का नियम)

पिछले भाग में हमने देखा था कि जब एक ही शेषफल बचाना हो तो हम LCM में उसे जोड़ देते हैं। लेकिन जब अलग-अलग संख्याओं से भाग देने पर अलग-अलग शेषफल बचे, तब यह नियम काम आता है।

कोर नियम (Core Rule): इस प्रकार के प्रश्नों में ( can’t-भाजक – शेषफल) का अंतर हमेशा समान ($K$) आता है। हमारा अंतिम उत्तर होता है: $\text{LCM} – K$.

उदाहरण 4.1:

सवाल: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे यदि 20, 25, 35 और 40 से भाग दिया जाए, तो क्रमशः 14, 19, 29 और 34 शेषफल बचे।

हल (Solution):

• स्टेप 1: सबसे पहले भाजक और उसके संगत शेषफल का अंतर ($K$) चेक करें:
  • 20 – 14 = 6
  • 25 – 19 = 6
  • 35 – 29 = 6
  • 40 – 34 = 6
  • (यहाँ समान अंतर $K = 6$ है)।
• स्टेप 2: अब सभी भाजकों (20, 25, 35, 40) का LCM निकालें।
  • 20, 25, 35, 40 का LCM = 1400
• स्टेप 3: अंतिम उत्तर के लिए LCM में से उस समान अंतर $K$ को घटा दें।
  $\text{अभीष्ट संख्या} = \text{LCM} – K$
  $\text{अभीष्ट संख्या} = 1400 – 6 = 1394$

उत्तर: 1394