यह चैप्टर दो मुख्य स्तंभों पर टिका है: LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) और HCF (महत्तम समापवर्तक)। आइए सबसे पहले इनकी मूल परिभाषा और निकालने के तरीकों को समझते हैं।
1. कोर कॉन्सेप्ट और परिभाषा (Core Concepts)
(A) LCM (Least Common Multiple – लघुत्तम समापवर्त्य)
- परिभाषा: वह सबसे छोटी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित (Divide) हो जाए, उसे उन संख्याओं का LCM कहते हैं।
- उदाहरण: 12 और 15 का LCM 60 है, क्योंकि 60 वह सबसे छोटी संख्या है जो 12 से भी कटती है (12 \times 5 = 60) और 15 से भी (15 \times 4 = 60)।
(B) HCF (Highest Common Factor – महत्तम समापवर्तक)
- परिभाषा: वह सबसे बड़ी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को पूरी तरह विभाजित कर दे (काट दे), उसे उन संख्याओं का HCF कहते हैं। इसे GCD (Greatest Common Divisor) भी कहा जाता है।
- उदाहरण: 12 और 15 का HCF 3 है, क्योंकि 3 वह सबसे बड़ी संख्या है जो 12 और 15 दोनों को पूरा-पूरा काट सकती है।
2. महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)
ब्लॉग के पाठकों के लिए ये सूत्र सबसे महत्वपूर्ण हैं, इन्हें याद रखना ज़रूरी है:
- दो संख्याओं का गुणनफल:
- भिन्नों का LCM (LCM of Fractions):
- भिन्नों का HCF (HCF of Fractions):
सभी प्रश्न प्रकार और शॉर्टकट ट्रिक्स (उदाहरणों के साथ)
प्रकार 1: सूत्रों पर आधारित सीधे प्रश्न ($I \times II = \text{LCM} \times \text{HCF}$)
इस प्रकार के प्रश्नों में चार चीजों (पहली संख्या, दूसरी संख्या, LCM, HCF) में से कोई भी तीन चीजें दे दी जाती हैं और चौथी पूछी जाती है।
उदाहरण 1.1:
सवाल: दो संख्याओं का म.स.प. (HCF) 11 है और उनका ल.स.प. (LCM) 7700 है। यदि इनमें से एक संख्या 275 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
(a) 279
(b) 308
(c) 318
(d) 280
हल (Solution):
- सूत्र: पहली संख्या $\times$ दूसरी संख्या = LCM $\times$ HCF
- मान रखने पर:
- 11 से 275 को काटने पर 25 मिलेगा ($275 \div 11 = 25$):
- उत्तर: (b) 308
प्रकार 2: भिन्नों (Fractions) का LCM और HCF निकालना
इसमें बटेवाली संख्याओं ($\frac{p}{q}$) का ल.स.प. या म.स.प. पूछा जाता है।
उदाहरण 2.1:
सवाल: $\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{5}{6} $ का ल.स.प. (LCM) क्या होगा?
हल (Solution):
- नियम: भिन्नों का LCM = (अंशों का LCM) \div (हरों का HCF)
- यहाँ अंश हैं: 2, 4, 5 $\rightarrow $ इनका LCM = 20
- यहाँ हर हैं: 3, 9, 6 $\rightarrow$ इनका HCF = 3 (वह सबसे बड़ी संख्या जो तीनों को काटे)
- अंतिम उत्तर = $\frac{20}{3}$
- उत्तर: $\frac{20}{3}$
प्रकार 3: शेषफल पर आधारित LCM के प्रश्न (घंटी और बत्ती वाले सवाल)
इस प्रकार के प्रश्नों में भाषा थोड़ी घुमावदार होती है, जैसे “वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करें…” या “घंटियाँ एक साथ कब बजेंगी…”। जहाँ भी न्यूनतम या छोटी से छोटी बात हो, वहाँ LCM निकालना होता है।
उदाहरण 3.1:
सवाल: वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 15, 20 और 54 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 4 शेषफल बचे।
हल (Solution):
- स्टेप 1: सबसे पहले दी गई संख्याओं (12, 15, 20, 54) का LCM निकालेंगे।
- 12, 15, 20, 54 का LCM = 540
- स्टेप 2: चूंकि हर स्थिति में 4 शेषफल बचाना है, इसलिए हम इस LCM में 4 जोड़ देंगे। उत्तर: 544
उदाहरण 3.2 (ट्रैफिक लाइट/घंटी वाले प्रश्न):
सवाल: चार घंटियाँ क्रमशः 6, 8, 12 और 18 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे एक साथ 12:00 बजे बजना शुरू करती हैं, तो वे दोबारा एक साथ कब बजेंगी?
हल (Solution):
- ऐसे प्रश्नों में अंतराल का LCM निकाला जाता है।
- 6, 8, 12, 18 का LCM = 72 सेकंड
- 72 सेकंड को मिनट में बदलने पर: 72 सेकंड= 1 मिनट 12 सेकंड
- घंटियाँ दोबारा एक साथ बजेंगी: 12 बजकर 1 मिनट 12 सेकंड पर (12:01:12 AM/PM)।
उत्तर: 12:01:12
प्रकार 4: शेषफल पर आधारित HCF के प्रश्न (बड़ी से बड़ी संख्या)
जहाँ भी प्रश्न में बड़ी से बड़ी संख्या या अधिकतम माप पूछा जाए, वहाँ HCF निकालना होता है।
उदाहरण 4.1:
सवाल: वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी है जिससे 1356, 1868 और 2764 को भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 12 शेषफल बचे?
हल (Solution):
- नियम: HCF के प्रश्नों में यदि शेषफल समान हो, तो पहले प्रत्येक संख्या में से उस शेषफल को घटा देते हैं, फिर बची संख्याओं का HCF निकालते हैं।
- संख्याओं में से 12 घटाने पर:
- * * * अब 1344, 1856 और 2752 का HCF निकालेंगे।
- इनका अंतर देखकर या भाग विधि से HCF निकालने पर 64 प्राप्त होगा।
उत्तर: 64