गुणनखंडों की संख्या और उनका योग (Number and Sum of Factors)
प्रतियोगी परीक्षाओं में किसी संख्या के गुणनखंडों (Factors या भाजक) से जुड़े कई तरह के सवाल पूछे जाते हैं। जैसे — कुल गुणनखंडों की संख्या, सम/विषम गुणनखंडों की संख्या, या उनका योग (Sum) ज्ञात करना।
इन सभी प्रश्नों को हल करने के लिए सबसे पहले संख्या का अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) करना पड़ता है।
कोर कॉन्सेप्ट: अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization)
यदि किसी संख्या $N$ को उसके अभाज्य गुणनखंडों की पावर के रूप में लिखा जाए:
$N = a^p \times b^q \times c^r \dots$
जहाँ $a, b, c$ अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers जैसे 2, 3, 5, 7 $\dots$) हैं और $p, q, r$ उनकी घातें (Powers) हैं।
उदाहरण के लिए: यदि संख्या 24 का अभाज्य गुणनखंडन करना हो:
$24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3^1$
सभी प्रश्न प्रकार और मुख्य सूत्र (उदाहरणों के साथ)
आइए संख्या 120 को मुख्य उदाहरण मानकर इसके सभी संभावित प्रश्न प्रकारों को आसान ट्रिक्स के साथ समझते हैं।
- 120 का अभाज्य गुणनखंडन:
$120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
यहाँ, $a=2, p=3$ | $b=3, q=1$ | $c=5, r=1$
प्रकार 1: कुल गुणनखंडों की संख्या (Total Number of Factors)
सूत्र (Formula): $\text{कुल गुणनखंड} = (p + 1) \times (q + 1) \times (r + 1) \dots$
(यानी सभी अभाज्य संख्याओं की घातों में 1 जोड़कर आपस में गुणा कर देते हैं)।
उदाहरण 1.1:
सवाल: संख्या 120 के कुल कितने गुणनखंड (Factors) हैं?
हल (Solution):
- $120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
- घातें हैं: 3, 1, 1
- कुल गुणनखंड = $(3 + 1) \times (1 + 1) \times (1 + 1)$
$\Rightarrow 4 \times 2 \times 2 = 16$
उत्तर: 16
प्रकार 2: सम और विषम गुणनखंडों की संख्या (Even & Odd Factors)
(A) विषम गुणनखंडों की संख्या (Number of Odd Factors):
नियम: विषम गुणनखंड निकालते समय हम 2 की पावर को पूरी तरह छोड़ देते हैं और केवल विषम अभाज्य संख्याओं की घातों में 1 जोड़कर गुणा करते हैं.
उदाहरण 2.1:
सवाल: संख्या 120 के विषम गुणनखंडों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
- $120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
- केवल विषम आधार (3 और 5) की घातों को लेंगे: 1 oars 1
- विषम गुणनखंड = $(1 + 1) \times (1 + 1) = 2 \times 2 = 4$
उत्तर: 4
(B) सम गुणनखंडों की संख्या (Number of Even Factors):
नियम: सम गुणनखंड निकालने के दो तरीके हैं:
- $\text{कुल गुणनखंड} – \text{विषम गुणनखंड} = \text{सम गुणनखंड}$
- शॉर्टकट ट्रिक: 2 की घात में 1 नहीं जोड़ते (उसे वैसे ही रखते हैं), और बाकी विषम आधारों की घातों में 1 जोड़कर गुणा करते हैं: $p \times (q + 1) \times (r + 1)$
उदाहरण 2.2:
सवाल: संख्या 120 के सम गुणनखंडों की संख्या क्या होगी?
हल (Solution):
- तरीका 1 से: $\text{कुल (16)} – \text{विषम (4)} = 12$
- तरीका 2 (ट्रिक) से: $120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$\Rightarrow 3 \times (1 + 1) \times (1 + 1) = 3 \times 2 \times 2 = 12$
उत्तर: 12
प्रकार 3: अभाज्य गुणनखंडों की संख्या (Number of Prime Factors)
नियम: इसमें हमें सिर्फ सभी घातों (Powers) को आपस में जोड़ देना होता है, कुछ भी अलग से प्लस नहीं करना है।
$\text{अभाज्य गुणनखंड} = p + q + r \dots$
उदाहरण 3.1:
सवाल: संख्या 120 के कुल अभाज्य गुणनखंडों की संख्या कितनी है?
हल (Solution):
- $120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
- घातों का योग = 3 + 1 + 1 = 5
उत्तर: 5
प्रकार 4: गुणनखंडों का योगफल (Sum of All Factors)
सूत्र (Formula): $\text{गुणनखंडों का योग} = (a^0 + a^1 + \dots + a^p) \times (b^0 + b^1 + \dots + b^q) \times (c^0 + c^1 + \dots + c^r)$
(यानी हर अभाज्य संख्या को पावर 0 से शुरू करके उसकी अधिकतम पावर तक जोड़ते हैं और फिर गुणा करते हैं)।
उदाहरण 4.1:
सवाल: संख्या 120 के सभी गुणनखंडों का योगफल क्या होगा?
हल (Solution):
- $120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
- सूत्र के अनुसार: $\Rightarrow (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \times (3^0 + 3^1) \times (5^0 + 5^1)$
- हम जानते हैं कि किसी भी संख्या की पावर 0 का मान 1 होता है।
$\Rightarrow (1 + 2 + 4 + 8) \times (1 + 3) \times (1 + 5)$
$\Rightarrow (15) \times (4) \times (6) = 360$
उत्तर: 360
प्रकार 5: पूर्ण वर्ग गुणनखंडों की संख्या (Number of Perfect Square Factors)
नियम: इस प्रकार के प्रश्नों में हम केवल उन्हीं घातों (Powers) को चुनते हैं जो सम (Even) संख्याएँ होती हैं (जैसे 0, 2, 4, 6 $\dots$), क्योंकि वही पूर्ण वर्ग बना सकती हैं।
उदाहरण 5.1:
सवाल: संख्या $2^5 \times 3^4 \times 5^3$ के कितने गुणनखंड पूर्ण वर्ग (Perfect Square) हैं?
हल (Solution):
हम हर एक अभाज्य आधार के लिए सम घातों की गिनती करेंगे (0 को शामिल करते हुए):
- $2^5$ के लिए सम घातें: $2^0, 2^2, 2^4$ (कुल 3 विकल्प)
- $3^4$ के लिए सम घातें: $3^0, 3^2, 3^4$ (कुल 3 विकल्प)
- $5^3$ के लिए सम घातें: $5^0, 5^2$ (कुल 2 विकल्प)
अब इन विकल्पों की संख्या का आपस में गुणा कर देंगे:
$\Rightarrow 3 \times 3 \times 2 = 18$
उत्तर: 18