प्रतिशत (Percentage) पूरे अंकगणित (Arithmetic) का सबसे महत्वपूर्ण आधार है। यदि आप इस चैप्टर के कांसेप्ट को अच्छी तरह समझ लेते हैं, तो आगे आने वाले कई चैप्टर्स जैसे लाभ और हानि (Profit & Loss), साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज (SI & CI), और आंकड़ों का विश्लेषण (Data Interpretation – DI) आपके लिए बहुत आसान हो जाएंगे।
1. कोर कांसेप्ट और परिभाषा (Core Concepts)
प्रतिशत का अर्थ क्या है?
- प्रतिशत दो शब्दों से मिलकर बना है: ‘प्रति’ (प्रत्येक) और ‘शत’ (सौ)। यानी किसी भी संख्या की 100 के आधार पर गणना करना ही प्रतिशत कहलाता है।
- इसका प्रतीक % होता है।
- उदाहरण: यदि आपकी परीक्षा में 80% अंक आए हैं, तो इसका सीधा मतलब है कि यदि परीक्षा कुल 100 अंकों की होती, तो आपको 80 अंक मिलते।
बुनियादी नियम (Basic Rules):
- प्रतिशत को भिन्न (Fraction) में बदलना: प्रतिशत का साइन (%) हटाने के लिए संख्या को 100 से भाग दिया जाता है।
$\text{उदाहरण: } 20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ - भिन्न (Fraction) को प्रतिशत में बदलना: किसी भी भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा किया जाता है।
$\text{उदाहरण: } \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \times 100 = 25\%$
2. महत्वपूर्ण प्रतिशत और उनके भिन्न रूप (Fraction Table)
कैलकुलेशन की स्पीड बढ़ाने के लिए नीचे दी गई तालिका के मान सीधे याद होने चाहिए:
| प्रतिशत (%) | भिन्न रूप (Fraction) | प्रतिशत (%) | भिन्न रूप (Fraction) |
|---|---|---|---|
| 100% | 1 | 12.5% या $12\frac{1}{2}\%$ | $\frac{1}{8}$ |
| 50% | $\frac{1}{2}$ | 11.11% या $11\frac{1}{9}\%$ | $\frac{1}{9}$ |
| 33.33% या $33\frac{1}{3}\%$ | $\frac{1}{3}$ | 10% | $\frac{1}{10}$ |
| 25% | $\frac{1}{4}$ | 9.09% या $9\frac{1}{11}\%$ | $\frac{1}{11}$ |
| 20% | $\frac{1}{5}$ | 8.33% या $8\frac{1}{3}\%$ | $\frac{1}{12}$ |
| 16.66% या $16\frac{2}{3}\%$ | $\frac{1}{6}$ | 6.25% या $6\frac{1}{4}\%$ | $\frac{1}{16}$ |
| 14.28% या $14\frac{2}{7}\%$ | $\frac{1}{7}$ | 5% | $\frac{1}{20}$ |
सभी प्रश्न प्रकार और मुख्य शाॅर्टकट ट्रिक्स (उदाहरणों के साथ)
प्रकार 1: बुनियादी मान और तुलना पर आधारित प्रश्न
इसमें सीधे पूछा जाता है कि एक संख्या दूसरी संख्या का कितना प्रतिशत है, या ‘का’ (of) और ‘से’ (than) वाले बुनियादी संबंध।
उदाहरण 1.1:
सवाल: 40, 160 का कितना प्रतिशत है?
- (a) 20%
- (b) 25%
- (c) 30%
- (d) 40%
हल (Solution):
- शॉर्टकट ट्रिक: जिसके साथ ‘का’ या ‘से’ लगा होता है, उसे हमेशा हर (Denominator) में रखते हैं।
- यहाँ ‘160 का’ पूछा है, इसलिए 160 नीचे आएगा:
$\text{प्रतिशत} = \frac{40}{160} \times 100$
$\text{प्रतिशत} = \frac{1}{4} \times 100 = 25\%$
उत्तर: (b) 25%
उदाहरण 1.2:
सवाल: यदि A की आय, B की आय से 25% अधिक है, तो B की आय, A की आय से कितने प्रतिशत कम है?
हल (Solution):
- तरीका 1 (मानकर):
मान लेते हैं B की आय = 100
तो A की आय = 125 (25% अधिक)
कमी = 125 – 100 = 25
चूंकि तुलना ‘A की आय से’ करनी है, इसलिए 125 नीचे आएगा:
प्रतिशत कमी =$ \frac{25}{125} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20\%$ - तरीका 2 (भिन्न ट्रिक): $25\% = \frac{1}{4}$। आय अधिक है तो अंश को हर में जोड़ दें: $\frac{1}{4+1} = \frac{1}{5}$। और $\frac{1}{5}$ का मतलब सीधे 20% होता है।
उत्तर: 20%
प्रकार 2: मूल्य और खपत (Price & Consumption) वाले प्रश्न
जब किसी वस्तु का मूल्य बढ़ जाता है, तो खर्च को समान रखने के लिए खपत में कमी करनी पड़ती है।
सुपर शॉर्टकट सूत्र: खपत में प्रतिशत कमी/वृद्धि= $\left( \frac{r}{100 \pm r} \right) \times 100$
(यदि मूल्य बढ़े तो नीचे + लें, यदि मूल्य घटे तो नीचे – लें)।
उदाहरण 2.1:
सवाल: चीनी के मूल्य में 20% की वृद्धि हो जाती है। एक गृहिणी को अपनी चीनी की खपत में कितने प्रतिशत की कमी करनी चाहिए ताकि उसका खर्च न बढ़े?
हल (Solution):
- यहाँ $r = 20$ है और मूल्य में वृद्धि हुई है।
- सूत्र के अनुसार:
खपत में कमी= $\left( \frac{20}{100 + 20} \right) \times 100$
खपत में कमी= $\frac{20}{120} \times 100 = \frac{1}{6} \times 100 = 16.66\%$
उत्तर: 16.66% या $16\frac{2}{3}\%$
प्रकार 3: लगातार वृद्धि या कमी (Successive Percentage / AB Formula)
जब किसी संख्या या वस्तु पर लगातार दो बार प्रतिशत परिवर्तन किया जाता है (जैसे किसी शहर की जनसंख्या में लगातार दो साल वृद्धि होना या किसी आयत की लंबाई-चौड़ाई बदलना)।
AB सूत्र: कुल प्रतिशत प्रभाव = $A + B + \frac{A \times B}{100}$
(ध्यान रखें: वृद्धि के लिए मान को + में और कमी/छूट के लिए – में लेते हैं)।
उदाहरण 3.1:
सवाल: एक आयत (Rectangle) की लंबाई में 20% की वृद्धि की जाती है और उसकी चौड़ाई में 10% की कमी की जाती है। इसके क्षेत्रफल पर पड़ने वाला कुल प्रतिशत प्रभाव क्या होगा?
हल (Solution):
- यहाँ $A = +20$ (वृद्धि) और $B = -10$ (कमी)।
- AB सूत्र में मान रखने पर:
कुल प्रभाव= $20 + (-10) + \frac{20 \times (-10)}{100}$
कुल प्रभाव= $10 – \frac{200}{100} = 10 – 2 = 8\%$ - चूंकि उत्तर धनात्मक (+8) आया है, इसलिए क्षेत्रफल में 8% की वृद्धि होगी।
उत्तर: 8% की वृद्धि
प्रकार 4: परीक्षा के अंकों (Exam & Marks) पर आधारित प्रश्न
इसमें उत्तीर्ण अंक (Passing Marks) और छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों की तुलना की जाती है।
उदाहरण 4.1:
सवाल: एक छात्र को परीक्षा में उत्तीर्ण होने के लिए 36% अंक प्राप्त करने थे। उसने 24% अंक प्राप्त किए और वह 9 अंकों से अनुत्तीर्ण (Fail) हो गया। परीक्षा के कुल पूर्णांक (Total Marks) क्या थे?
हल (Solution):
- प्रतिशत अंकों का अंतर = 36% – 24% = 12%
- अंकों में यह अंतर किसके बराबर है? 9 अंकों के (क्योंकि वह 9 अंकों से फेल हुआ है)।
$\Rightarrow 12\% = 9 \text{ अंक}$ - परीक्षा का कुल पूर्णांक हमेशा 100% होता है:
कुल पूर्णांक = $\frac{9}{12} \times 100$
कुल पूर्णांक= $\frac{3}{4} \times 100 = 3 \times 25 = 75$
उत्तर: 75