संख्या पद्धति (Number System) – भाग 1

उप-विषय: संख्याओं का वर्गीकरण (Classification of Numbers)

किसी भी संख्या की बुनियाद को समझने के लिए नीचे दिए गए चार्ट को ध्यान से देखें। इससे आपको समझ आएगा कि कौन सी संख्या किस कैटेगरी में आती है।

सभी प्रश्न प्रकार और मुख्य अवधारणाएं (उदाहरणों के साथ)

परीक्षाओं में ‘संख्याओं के वर्गीकरण’ से आमतौर पर कथन वाले (Statement-based), गिनती वाले (Counting-based) और गुणों पर आधारित (Properties-based) प्रश्न पूछे जाते हैं। आइए हर एक प्रकार को ध्यान से समझते हैं।

प्रकार 1: परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ (Rational vs Irrational Numbers)

अवधारणा (Concept): जिस संख्या को $\frac{p}{q}$ (भिन्न) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक (Integers) हों और $q \neq 0$ हो, वह परिमेय (Rational) है। जिसे इस रूप में नहीं लिखा जा सके (जैसे वे रूट वाले नंबर्स जिनका परफेक्ट स्क्वायर नहीं निकलता, या $\pi$), वह अपरिमेय (Irrational) है।

उदाहरण 1.1:

सवाल: नीचे दी गई संख्याओं में से कौन सी संख्या एक अपरिमेय (Irrational) संख्या है?

• (a) $\sqrt{16}$
• (b) 3.14
• (c) $\sqrt{5}$
• (d) $\frac{22}{7}$

हल (Solution):

• (a) $\sqrt{16} = 4$, जिसे $\frac{4}{1}$ लिखा जा सकता है (परिमेय)।
• (b) 3.14 = $\frac{314}{100}$ (परिमेय)।
• (c) $\sqrt{5}$ का सटीक मान नहीं निकल सकता, इसका दशमलव प्रसार (decimal expansion) अशांत और अनावर्ती (non-terminating & non-repeating) होता है। इसलिए यह अपरिमेय है।
• (d) $\frac{22}{7}$ पहले से ही $\frac{p}{q}$ के रूप में है (परिमेय)।

उत्तर: (c)

उदाहरण 1.2:

सवाल: क्या 0.3333… (या $0.\bar{3}$) एक परिमेय (Rational) संख्या है या अपरिमेय (Irrational)?

हल (Solution): मान लेते हैं $x = 0.3333…$ ——– (समीकरण 1)

दोनों तरफ 10 से गुणा (multiply) करने पर:
$10x = 3.3333…$ ——– (समीकरण 2)

अब, समीकरण 2 में से समीकरण 1 को घटाने पर:
$10x – x = (3.3333…) – (0.3333…)$
$9x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

चूंकि हम इसे $\frac{1}{3}$ ($\frac{p}{q}$ रूप) में लिख पा रहे हैं, इसलिए यह एक परिमेय (Rational) संख्या है।

उत्तर: परिमेय (Rational)

प्रकार 2: अभाज्य संख्या (Prime Numbers) – पहचान और गिनती

अवधारणा (Concept): ऐसी संख्याएँ जिनके केवल 2 गुणनखंड (factors) होते हैं — एक 1 और एक वह खुद। सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है, जो अकेली सम अभाज्य संख्या (Even Prime) भी है।

• 1 से 50 तक = 15 अभाज्य संख्याएँ
• 51 से 100 तक = 10 अभाज्य संख्याएँ
• 1 से 100 तक = कुल 25 अभाज्य संख्याएँ

उदाहरण 2.1:

सवाल: नीचे दिए गए कथनों में से कौन सा सही (True) है?

1. 1 सबसे छोटी अभाज्य संख्या (Prime number) है।
2. सभी अभाज्य संख्याएँ विषम (Odd) होती हैं।
3. 2 सबसे छोटी और अकेली सम अभाज्य (Even Prime) संख्या है।
4. कथन 1 गलत है, क्योंकि 1 का सिर्फ एक ही गुणनखंड होता है, इसलिए यह न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।
5. कथन 2 भी गलत है, क्योंकि 2 एक सम (Even) संख्या है और अभाज्य भी है।
6. कथन 3 बिल्कुल सही है।
7. स्टेप 1: 137 के पास की ऐसी संख्या ढूँढो जो पूर्ण वर्ग (perfect square) हो और 137 से बड़ी हो। वह है 144 (12 का वर्ग)।
8. स्टेप 2: अब 12 से छोटी सभी अभाज्य संख्याएँ लिखिए: 2, 3, 5, 7, 11
9. स्टेप 3: जाँचें कि क्या 137 इनमें से किसी से विभाजित होता है?
   • 2 से नहीं होगा (इकाई अंक विषम है)।
   • 3 से नहीं होगा (अंकों का योग 1+3+7 = 11, जो 3 से नहीं कटता)।
   • 5 से नहीं होगा (इकाई अंक 7 है)।
   • 7 से जाँचें: $7 \times 19 = 133$ (शेषफल 4 बचा, यानी नहीं कटेगा)।
   • 11 से जाँचें: $11 \times 12 = 132$ (शेषफल 5 बचा, यानी नहीं कटेगा)।
10. भाज्य संख्या (Composite): जिसके 2 से ज़्यादा गुणनखंड हों। सबसे छोटी भाज्य संख्या 4 है।
11. सह-अभाज्य संख्या (Co-Prime): ऐसी दो संख्याओं का जोड़ा जिनका महत्तम समापवर्तक (HCF) हमेशा 1 हो (यानी उनमें 1 के अलावा कुछ भी कॉमन न हो)।
12. (a) (12, 18)
13. (b) (15, 25)
14. (c) (8, 15)
15. (d) (9, 27)
16. (a) 12 और 18 दोनों 6 से कटते हैं (HCF = 6)।
17. (b) 15 और 25 दोनों 5 से कटते हैं (HCF = 5)।
18. (c) 8 के गुणनखंड (1, 2, 4, 8) और 15 के गुणनखंड (1, 3, 5, 15) हैं। इनमें सिर्फ 1 कॉमन है (HCF = 1)।
19. (d) 9 और 27 दोनों 9 से कटते हैं (HCF = 9)।
20. जातीय मान (Face Value): किसी अंक का अपना खुद का मान (यह कभी नहीं बदलता)।
21. स्थानीय मान (Place Value): वह अंक संख्या में किस स्थान पर है (इकाई, दहाई, सैकड़ा, हज़ार आदि) उसके हिसाब से उसका मान।
22. 4 का स्थानीय मान (Place Value) = $4 \times 1000 = 4000$ (क्योंकि यह हज़ार के स्थान पर है)।
23. 4 का जातीय मान (Face Value) = 4 (खुद वही अंक)।
24. अंतर (Difference) = 4000 – 4 = 3996
25. यहाँ 2 दूसरे स्थान पर है, इसलिए इसका स्थानीय मान = $\frac{2}{100} = 0.02$ होगा।
26. सम (Even) $\pm$ सम (Even) = सम (Even)
27. विषम (Odd) $\pm$ विषम (Odd) = सम (Even)
28. सम (Even) $\pm$ विषम (Odd) = विषम (Odd)
29. सम (Even) $\times$ कोई भी संख्या = सम (Even)
30. विषम (Odd) $\times$ विषम (Odd) = विषम (Odd)
31. (a) $x + y + 1$
32. (b) $xy$
33. (c) $x + y$
34. (d) $xy + 2$
35. (a) 3 + 5 + 1 = 9 (विषम)
36. (b) $3 \times 5 = 15$ (विषम)
37. (c) 3 + 5 = 8 (सम)
38. (d) ($3 \times 5$) + 2 = 17 (विषम)