विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)
प्रतियोगी परीक्षाओं में विभाज्यता के नियमों (Divisibility Rules) पर आधारित प्रश्न सीधे भी पूछे जाते हैं, और बड़े-बड़े गुणा-भाग को छोटा करने (Calculation Fast करने) में भी यह बहुत काम आते हैं।
आइए सभी महत्वपूर्ण नियमों और उन पर बनने वाले प्रश्नों के प्रकारों को उदाहरण के साथ समझते हैं।
विभाज्यता के बुनियादी नियम (Basic Rules)
- 2 का नियम: यदि संख्या का अंतिम अंक (Unit Digit) कोई सम संख्या (0, 2, 4, 6, 8) हो।
- 3 का नियम: यदि संख्या के सभी अंकों का योग (Sum of Digits) 3 से विभाजित हो।
- 4 का नियम: यदि संख्या के अंतिम दो अंक (Last 2 Digits) 4 से विभाजित हों या अंतिम दोनों अंक शून्य (00) हों।
- 5 का नियम: यदि संख्या का अंतिम अंक 0 या 5 हो।
- 6 का नियम: यदि संख्या 2 tobacco 3 दोनों के नियमों को एक साथ पूरा करती हो (अर्थात संख्या सम भी हो और अंकों का योग 3 से कटता हो)।
- 8 का नियम: यदि संख्या के अंतिम तीन अंक (Last 3 Digits) 8 से विभाजित हों या अंतिम तीनों अंक शून्य (000) हों।
- 9 का नियम: यदि संख्या के सभी अंकों का योग 9 से विभाजित हो।
- 10 का नियम: यदि संख्या का अंतिम अंक केवल 0 हो।
- 11 का नियम: (विषम स्थानों के अंकों का योग) – (सम स्थानों के अंकों का योग) का अंतर या तो 0 हो, या 11 का कोई गुणज (जैसे: 11, 22, 33…) हो।
सभी प्रश्न प्रकार और मुख्य अवधारणाएं (उदाहरणों के साथ)
प्रकार 1: अज्ञात अंक (Missing Digit) ज्ञात करना
इस प्रकार के प्रश्नों में संख्या के बीच में एक या दो अंक गायब कर दिए जाते हैं (जैसे $x$ या *) और पूरी संख्या किसी विशेष अंक से विभाजित होती है।
उदाहरण 1.1 (3 का नियम):
सवाल: यदि संख्या 543×1 पूर्णतः 3 से विभाजित है, तो $x$ के स्थान पर आने वाले सभी संभावित अंकों का योग क्या होगा?
- (a) 12
- (b) 15
- (c) 9
- (d) 18
हल (Solution):
- नियम: अंकों का योग 3 से कटना चाहिए।
- अंकों का योग = 5 + 4 + 3 + $x$ + 1 = 13 + $x$
- अब 13 + $x$ को 3 से विभाजित होने के लिए $x$ के संभावित मान क्या हो सकते हैं? (याद रखें $x$ एक सिंगल डिजिट है, यानी 0 से 9 तक ही हो सकता है)।
- यदि $x = 2$, तो 13 + 2 = 15 (3 से विभाजित)
- यदि $x = 5$, तो 13 + 5 = 18 (3 से विभाजित)
- यदि $x = 8$, तो 13 + 8 = 21 (3 से विभाजित)
- संभावित अंकों का योग = 2 + 5 + 8 = 15
उत्तर: (b) 15
उदाहरण 1.2 (9 का नियम):
सवाल: यदि 78*394, 9 से पूर्णतः विभाजित है, तो * के स्थान पर कौन सा अंक आएगा?
हल (Solution):
- अंकों का योग = 7 + 8 + * + 3 + 9 + 4 = 31 + *
- 31 के ठीक बाद ऐसी कौन सी संख्या है जो 9 से कटती है? वह है 36।
- इसलिए, 31 + * = 36 $\Rightarrow$ * = 36 – 31 = 5
उत्तर: 5
प्रकार 2: 11 की विभाज्यता पर आधारित प्रश्न
यह परीक्षाओं का सबसे पसंदीदा टॉपिक है। इसमें सम और विषम स्थानों के अंकों के अंतर को देखा जाता है।
उदाहरण 2.1:
सवाल: यदि संख्या 94×2357, 11 से पूर्णतः विभाजित है, तो $x$ का मान क्या होगा?
हल (Solution):
संख्या को ध्यान से देखें और स्थानों को चिह्नित करें: 9 4 $x$ 2 3 5 7
- विषम स्थानों (Odd places) के अंकों का योग:
9 + $x$ + 3 + 7 = 19 + $x$ - सम स्थानों (Even places) के अंकों का योग:
4 + 2 + 5 = 11 - अंतर (Difference):
(19 + $x$) – 11 = 8 + $x$ - 11 के नियम के अनुसार, यह अंतर या तो 0 होना चाहिए या 11। चूंकि 8 + $x$ कभी भी 0 नहीं हो सकता (क्योंकि $x$ एक धनात्मक अंक है), इसलिए हम इसे 11 के बराबर रखेंगे:
8 + $x$ = 11 $\Rightarrow$ $x$ = 11 – 8 = 3
उत्तर: 3
प्रकार 3: संयुक्त विभाज्यता (Composite Divisibility — 72, 88, 99 का नियम)
जब परीक्षा में बड़े नंबर्स जैसे 72, 88 या 99 से विभाज्यता पूछी जाती है, तो हम उस संख्या को दो सह-अभाज्य (Co-Prime) गुणनखंडों में तोड़ते हैं।
- 72 $\rightarrow$ $8 \times 9$ (जो संख्या 8 और 9 दोनों से कटेगी, वह 72 से भी कटेगी)
- 88 $\rightarrow$ $8 \times 11$
- 99 $\rightarrow$ $9 \times 11$
उदाहरण 3.1:
सवाल: यदि 8-अंकों की संख्या 342x18y6, 72 से पूर्णतः विभाजित है, तो $x + y$ का मान क्या होगा?
हल (Solution):
- स्टेप 1 (8 का नियम): सबसे पहले अंतिम 3 अंकों (8y6) को देखेंगे।
- 8y6 को 8 से कटना चाहिए।
- यदि $y = 1 \rightarrow$ 816 (8 से कटता है, $8 \times 102 = 816$)
- यदि $y = 5 \rightarrow$ 856 (8 से कटता है, $8 \times 107 = 856$)
- यदि $y = 9 \rightarrow$ 896 (8 से कटता है, $8 \times 112 = 896$)
- (यहाँ हम न्यूनतम मान $y = 1$ लेकर चलते हैं)।
- स्टेप 2 (9 का नियम): अब पूरी संख्या के अंकों का योग करेंगे।
- संख्या: 342×1816 (यहाँ $y=1$ रख दिया)
- अंकों का योग = 3 + 4 + 2 + $x$ + 1 + 8 + 1 + 6 = 25 + $x$
- 25 के बाद 9 से कटने वाली संख्या 27 है।
- 25 + $x$ = 27 $\Rightarrow$ $x$ = 2
- स्टेप 3: $x + y$ का मान = 2 + 1 = 3
(नोट: यदि विकल्प में 3 न हो, तो $y=5$ रखकर $x$ का दूसरा मान निकाल सकते हैं)।
उत्तर: 3
प्रकार 4: घातांक आधारित विभाज्यता (Power Based Divisibility)
इस प्रकार के प्रश्नों में बड़ी-बड़ी पावर्स दी जाती हैं और पूछा जाता है कि यह किससे विभाजित होगी.
उदाहरण 4.1:
सवाल: $4^{61} + 4^{62} + 4^{63} + 4^{64}$ निम्नलिखित में से किस संख्या से पूर्णतः विभाजित होगी?
- (a) 3
- (b) 10
- (c) 11
- (d) 13
हल (Solution):
ऐसे प्रश्नों में सबसे छोटी पावर को कॉमन (Common) ले लिया जाता है।
- व्यंजक: $4^{61}(4^0 + 4^1 + 4^2 + 4^3)$
- हम जानते हैं कि किसी की पावर 0 का मान 1 होता है ($4^0 = 1$)।
$\Rightarrow 4^{61}(1 + 4 + 16 + 64)$
$\Rightarrow 4^{61}(85)$ - अब ध्यान से देखें, गुणनफल में 85 आया है। 85 के गुणनखंड होते हैं $5 \times 17$।
- संख्या के पास $4^{61}$ भी है, यानी इसमें सम संख्या भी शामिल है।
- यदि हम $4^{61}$ में से एक 4 बाहर निकाल लें: $4^{60} \times 4 \times 85 = 4^{60} \times 340$
- चूंकि अंतिम गुणनफल 340 आया है, जिसके अंत में 0 है, इसलिए यह संख्या 10 से पूरी तरह विभाजित होगी।
उत्तर: (b) 10